Una resa dei conti fra spazi degli stati: una griglia piatta di due contro un cubo costruito interamente di tre.
Scritto e redatto in inglese. Questa versione italiana è stata prodotta con traduzione automatica; dove conta la precisione, fa fede l'originale inglese. Leggi l'originale in inglese →
Entrambi i giochi sono rompicapi a numeri scorrevoli. In 2048 spingi una griglia 4×4 di sedici celle in una di quattro direzioni; le tessere uguali si scontrano e raddoppiano, risalendo le potenze di due. In 3927 spingi un cubo 3×3×3 di ventisette celle in una di sei direzioni; tre blocchi uguali si scontrano e triplicano, risalendo le potenze di tre, 3, 9, 27, proprio le cifre del nome. 1 Chiedersi quale sia più difficile significa in realtà chiedersi quale gioco nasconda l'oceano più vasto di posizioni possibili. Proviamo dunque a misurare l'acqua.
La dimensione grezza di una griglia cresce come (simboli per cella)cells. Il numero di celle sta nell'esponente, ed è lì che si trova tutta la leva. 2048 offre sedici celle; 3927 ne offre ventisette. A parità di alfabeto per cella, il cubo è già più grande di un fattore pari all'incirca ad a27−16 = a11; con un alfabeto di dieci simboli, questo da solo fa cento miliardi di volte più stati, prima ancora di tenere conto di qualsiasi altra cosa. Il vero motore è la dimensione in più, non l'aritmetica in base 3.
Ogni cella è vuota oppure contiene il valore di una tessera. Per un 2048 limitato alla tessera 256, una cella esprime uno di nove simboli: vuoto, più {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Un limite superiore pubblicato, costruito esattamente su questo alfabeto, stima la griglia 4×4 in circa 5,63 × 1014 posizioni, e gli autori ammettono con franchezza che questo tetto include griglie illegali che non possono mai presentarsi davvero. 2 Dai a 3927 una profondità paragonabile, vuoto più {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, cioè otto simboli, e il suo tetto grezzo è 827 ≈ 2,4 × 1024. La base 3 concede a 3927 meno simboli per cella di quanti ne darebbe la base 2; le undici celle in più gli restituiscono il cielo.
Spingi le scale dei valori un po' più in profondità e il tetto di 3927 supera quello di 2048 di un fattore compreso fra un miliardo e cento miliardi. Il cubo vince sull'esponente.
Nessuno ha enumerato gli stati raggiungibili di un 2048 a grandezza piena, figuriamoci di 3927. Ma i ricercatori hanno risolto in modo esaustivo versioni ridotte di 2048, e quelle cifre esatte fanno da àncora alle nostre stime. Una griglia 3×3 di 2048 contiene 48.713.519 stati raggiungibili; allargala a 4×3 e il conto balza oltre il bilione, 1.152.817.492.752 stati, con 739.648.886.170 posizioni distinte dopo la mossa. 3 Ogni cella aggiunta moltiplica il mondo. Estrapola quella curva a 27 celle e nessuna tabella onesta può stampare un singolo numero.
| Proprietà | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Griglia | 4×4 piatta | cubo 3×3×3 |
| Celle | 16 | 27 |
| Base numerica | 2 | 3 |
| Regola di fusione | 2 uguali → raddoppio | 3 uguali → triplo |
| Direzioni di spinta | 4 | 6 |
| Simboli / cella (profondità equivalente) | 9 | 8 |
| Tetto grezzo (illegali incluse) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Limite superiore raffinato citato | 5.63 × 10¹⁴ | nessuno pubblicato |
| Conteggio esatto, sottogriglia 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Ogni numero grande qui è un limite superiore o una stima dell'ordine di grandezza, mai un censimento. I tetti contano griglie che il gioco legale non può mai raggiungere, per esempio una griglia con una sola tessera isolata (entrambi i giochi cominciano con due tessere, e ne aggiungono una nuova dopo ogni mossa, quindi nessuna griglia si riduce mai a una sola tessera), o valori che nessuna sequenza di fusioni può produrre. Le cifre di 2048 provengono da lavori sottoposti a revisione paritaria; quelle di 3927 sono miei calcoli a spanne, fatti allo stesso modo, e vanno lette come «non più grande di così, probabilmente molto meno». Le regole di entrambi i giochi sono ricavate dai documenti di progettazione del gioco, non presunte.
La dimensione dello spazio degli stati è la mappa; il fattore di ramificazione è la velocità con cui la percorri. A ogni turno il giocatore sceglie una direzione, fino a quattro in 2048, fino a sei in 3927, quindi il cubo offre il cinquanta per cento di scelte reali in più per mossa. Poi interviene il caso: il gioco fa cadere una nuova tessera in una cella vuota a caso. 2048 genera un 2 o un 4, all'incirca due esiti per ogni cella libera, su un massimo di quindici celle vuote; 3927 genera sempre un solo 3, ma in un massimo di ventisei celle vuote. 1 Moltiplica la decisione per il caso e l'albero di gioco di 3927 si apre più largo a ogni semimossa e, poiché le fusioni a tre sono più rare di quelle a due, le sue partite tendono a durare di più, rendendo l'albero più profondo oltre che più largo.
«Più difficile» per un essere umano è una questione di sensazioni, e 2048 non è affatto una passeggiata: decidere se una posizione arbitraria possa raggiungere una tessera obiettivo è dimostrabilmente NP-difficile su una griglia generica. 4 Ma come oggetto combinatorio, 3927 è l'animale più grande, con un margine ampio e onesto: più celle nell'esponente, più direzioni nella ramificazione, partite più lunghe in profondità. L'aritmetica in base 3 che gli dà il nome è quasi una falsa pista. La difficoltà non è mai stata nei tre. Stava nella terza dimensione.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.