L'efficienza nascosta della base tre, e se un gioco costruito su di essa sia, in silenzio, la macchina più elegante.
Scritto e redatto in inglese. Questa versione italiana è stata prodotta con traduzione automatica; dove conta la precisione, fa fede l'originale inglese. Leggi l'originale in inglese →
3927 è 2048 ricostruito in tre dimensioni e in un'aritmetica diversa. La griglia è un cubo 3×3×3, ventisette celle, e spingi l'intero cubo lungo una qualsiasi di sei direzioni. Quando tre tessere di uguale valore si scontrano, non raddoppiano: triplicano. Un tre diventa un nove, un nove diventa un ventisette, e avanti così: 81, 243, 729. Il nome stesso conta le prime tre tessere, 3·9·27, e tutto nel design è fatto di tre fino in fondo: tre per asse, tre per fusione, tre come fattore di crescita. 4
Il suo antenato è ostinatamente binario. Il 2048 classico lavora con le potenze di due, 2, 4, 8, 16…, e fonde le tessere a coppie. Due è il numero del lancio della moneta, del transistor, del bit. Così la domanda naturale che si pone un giocatore curioso è se sostituire il due con il tre sia una semplice novità, o se il tre nascondesse da sempre un vero vantaggio. A quanto pare la matematica ha un'opinione in merito, e un'opinione sorprendentemente decisa.
Immagina di dover costruire una macchina che memorizza numeri. Ogni posizione di cifra ti costa qualcosa, una ruota, un filo, una valvola, e quel costo cresce con la base, perché una cifra in base b richiede b stati distinguibili. Ma una base più grande significa anche che servono meno cifre per arrivare a un dato numero. C'è una tensione, qui, e ha un nome: economia della radice.
Formalmente, l'economia della rappresentazione di un numero N in base b è la base moltiplicata per il numero di cifre, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 Una base grande ti dà numeri corti ma cifre costose; una base piccola costa poco per cifra ma si allarga a dismisura. Da qualche parte fra i due estremi c'è un punto ottimale, e non è dove è approdata la maggior parte della nostra tecnologia.
| Base | b ÷ ln b | rispetto all'ottimo |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | ottimo |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Per N grande l'economia si comporta come (b ÷ ln b) · ln N, quindi l'efficienza di una base dipende interamente dal fattore b ÷ ln b. Minimizzalo con un po' di analisi e la risposta è esatta e strana: la base più economica di tutte è e, circa 2,71828. 1 Naturalmente non si può costruire un computer con 2,718 stati per cifra. Ma ci si può chiedere quale intero sia il più vicino a quell'ideale, e il vincitore, che batte sia il due sia il dieci, è il tre.
Il divario non è accademico. La base tre si colloca entro mezzo punto percentuale dall'ottimo teorico, mentre il binario paga un sovrapprezzo del sei per cento e il decimale uno schiacciante sessanta. Un modo concreto per percepirlo: per scrivere tutti i numeri da 0 a 999.999, il binario richiede 20 cifre, il decimale 6, ma il ternario solo 13, e 13×3 è un totale più piccolo di 20×2. 1 Il tre fa davvero stare più conteggio in meno struttura.
Alla natura è stato chiesto di indicare il modo più efficiente di contare, e ha risposto con un numero irrazionale. Il numero intero più vicino a quella risposta è il tre.
Non è soltanto una curiosità da manuale. Nel 1958, all'Università statale di Mosca, un gruppo guidato da Nikolaj Brusencov e dal matematico Sergej Sobolev costruì il Setun, il più famoso computer ternario mai realizzato. 3 Mentre l'Occidente si stava impegnando sui bit, il Setun contava in trit, e usava uno schema particolarmente bello: il ternario bilanciato, le cui tre cifre non valgono 0, 1, 2 ma −1, 0, +1. 2
La simmetria ripaga subito. Un numero porta con sé il proprio segno, senza un bit di segno separato né le contorsioni del complemento a due, e per cambiare segno a qualsiasi valore basta invertire ogni cifra. Arrotondamento e troncamento diventano la stessa operazione. Donald Knuth lo giudicò «forse il più grazioso di tutti i sistemi di numerazione». 2 Brusencov, privo di transistor, ricavò tre stati stabili da coppie di nuclei di ferrite; furono costruiti circa cinquanta Setun, per lo più inviati a insegnare matematica nelle università sovietiche. 3 La macchina funzionava, era economica ed era, senza clamore, più avanti delle sue vicine.
Ed è qui che chi scrive con cura deve resistere a se stesso. L'economia della radice è un'affermazione sulla memorizzazione e sull'elaborazione dei numeri sotto specifiche ipotesi di costo, e perfino i matematici osservano che queste ipotesi sono solo approssimative: un calcolo più completo spesso torna a giustificare il binario, ed è per questo che il mondo funziona con esso. 1 Un rompicapo a fusione non è un banco di memoria; nessuno cerca di ridurre al minimo il numero di valvole durante una pausa caffè. Quindi 3927 non è «più efficiente» in alcun senso ingegneristico che conti davvero, e sarebbe un imbroglio affermarlo.
Eppure. Il gioco eredita qualcosa di vero. La crescita per triplicazione raggiunge numeri grandi con mosse meno numerose e più decisive; ogni fusione fa più lavoro, e un cubo 3×3×3 è la griglia più piccola che lasci respirare la fusione a tre in ogni direzione. 4 Il design non è inciampato per caso nel tre: è approdato sull'intero che la matematica del contare preferisce in silenzio fin dagli albori dell'informatica elettronica, quello che gli ingegneri del Setun scelsero di proposito. Il due è il numero su cui ci siamo adagiati per default. Il tre è il numero che avremmo scelto se l'ultima parola l'avesse avuta l'efficienza, e non il lancio della moneta. Che le tessere compongano proprio 3, 9, 27 è un piccolo scherzo che l'universo stava già raccontando.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.